第12章 认识随机性

使用了一个所谓“电子轮盘”来生成这些数字：一个随机脉冲发生器每秒发射出十万个脉冲；脉冲经过选通和标准化后，进入一个五位二进制计数器；生成的数经过一个二进制–十进制转换器的转换后，送入一部 IBM打孔机，并最后用 IBM856型计算机打印出来。 整个过程耗时数年。当第一批数字送检时，统计学家在其中检测出了显著偏差：某些数字、数字组合或数字模式出现得太过频繁，或不够频繁。经过反复调试和检测后，虽然出版的最终结果依然存在微小但具有统计显著性的偏差，但已经足够令人满意。该书的编辑则不无自嘲地说道：“由于本表的特殊性质，校对每一页定稿以纠正计算机可能引入的随机错误，似乎没有必要。”

这种书在当时有市场，是因为科学家的有些工作需要大量现成的随机数，比如用来设计在统计上公平的实验，或为复杂系统构建现实的模型。新出现不久的蒙特卡洛模拟法就是利用了随机采样来对无法求得解析解的现象建模。这种方法是由约翰·冯·诺伊曼在原子弹项目中所领导的小组所发明和命名的，当时他们迫切需要随机数来协助中子扩散的计算。冯·诺伊曼知道，由于其决定论的算法和有限的存储容量，机械式计算机不可能生成真正的随机数。因此，他也只有退而求其次，接受伪随机数：由决定论的算法生成、表现得像是随机的数。它们的随机性，已经足以满足实际用途。相较于用物理方法生成随机数，冯·诺伊曼承认：“当然，任何考虑用算术方法来生成随机数的人都犯下了僭越之罪。因为，正如已经被多次指出的，不存在一个随机数这样的东西——有的只是生成随机数的方法，而一种严格的算术方法显然不属于其中之一。”

随机性也许可以用秩序来定义——严格地说，是秩序的缺失。下面这个整齐的数字序列很难说是“随机的”：

00000

但它的身影却在前面提到的一百万个随机数字中多次出现。不过，从概率上看，这并不出乎意料：“00000”与其他99,999个可能的五位数字字符串具有相同的出现概率。在一百万个随机数字里，我们还能找到：

010101

它看起来也像是带有模式。

要想从这个数字密林中找出带有模式的片断，需要一个有智能的观察者。给定一个充分长的随机数字字符串，任何充分短的子字符串都会在其中某处出现，比如银行保险柜的密码或编码后的莎士比亚全集。但它们即使出现了也没有什么用处，因为没有人能把它们找出来。

我 们 也 许 可 以 这 么 说 ， 在 特 定 的 上 下 文 中 ，像“00000”和“010101”这样的数是随机的。只要让一个人抛掷一枚均匀硬币充分长的时间（这是最简单的机械式随机数生成器之一），他肯定会在某个时刻连续抛出十次正面。而当这种事发生时，这个“随机数生成器”一般来说会舍弃这个结果，停下来喝杯咖啡，稍事休息。这恰好从一个方面表明了，即便借助了机械的帮助，人类在生成随机数方面也是能力低下。研究也证明，人类直觉在预测随机性和识别随机性上都毫无助益。无论愿意与否，人类总是偏好模式。纽约公共图书馆便将《一百万个随机数字》归入了心理学。2010年，该书在亚马逊书店上仍然有售，售价八十一美元。

数（按我们现在的理解）是信息。在香农影响下，我们现代人在考虑形式最纯粹的信息时，可能首先会想到一个由0和1组成的字符串。下面是两个五十位的二元数字字符串：

A ：01010101010101010101010101010101010101010101010101B ：

10001010111110101110100110101000011000100111101111如果爱丽丝（A）和鲍勃（B）都说自己是通过抛掷硬币生成了各自的字符串，大概没人会相信爱丽丝的话。两个字符串的随机程度肯定有所不同。古典概率论无法给出充分的理由说明B比A更随机，毕竟随机过程的确可以生成两者当中的任意一个。概率针对的是整个系综，而非单个事件。概率论采用统计学来处理事件，它并不欢迎诸如“这件事当时是有多大可能发生”之类的问题。既然已经发生了，它就是发生了。

如果把这些字符串给克劳德·香农看，他大概会认为，它们看上去像讯息。他会问：两个字符串各含有多少信息？在表面上，两个字符串各含有五十比特的信息。按数字计费的电报员在度量讯息的长度后，会给爱丽丝和鲍勃开具相同的账单。但同样，这两个讯息看上去又差异明显。讯息A很快会变得乏味：一旦你看出了模式，后面再怎么重复也不会提供更多新的信息。而讯息B中的每一个比特都同样有价值。香农在最初构建信息论时，是从统计学角度处理讯息，将其视为从所有可能讯息组成的系综中作出的选择——在这里，所有可能讯息的数量为250。但香农还进一步考虑了讯息中的冗余：讯息中的模式、规律和秩序等因素使得讯息可压缩。讯息越有规律，就越可预测；越可预测，就越冗余；越冗余，含有的信息就越少。

在发送讯息A时，电报员有一条捷径可抄：他可以发送诸如“重复‘01'二十五遍”这样的讯