第12章 认识随机性

——僭越之罪

“我觉得，”她说，“我们越来越难找出其中的模式了，你不觉得吗？”

——迈克尔·卡宁厄姆（2005）

1958年，年仅十一岁但早慧的格雷戈里·蔡廷（GregoryChaitin），一个阿根廷移民之子，在纽约公共图书馆里发现了一本神奇的小书。 他兴奋地试图把里面的内容解释给其他孩子听，慢慢地，却不得不承认自己先要努力弄懂才是。这本书便是欧内斯特·内格尔和詹姆斯·R. 纽曼合著的《哥德尔证明》，由两人原先发表在《科学美国人》上的一篇文章扩充而成。在书中，两位作者以简化而严谨的方式介绍了始于乔治·布尔的逻辑学复兴、“映射”的概念（采用符号甚至整数来给数学表达式编码）、元数学的思想（关于数学因而是超越数学的一种系统化语言），以及哥德尔“惊人又不免令人感伤” 的证明（形式数学永远无法摆脱自相矛盾）。这些都让蔡廷兴奋不已。

但当时数学界的大部分人对哥德尔的证明却置若罔闻。数学形式体系的不完全性固然令人震惊，可这似乎无伤大雅——对数学家的实际工作并无妨碍，他们可以继续作出发现或证明定理。但部分富有哲思的数学家却深感不安，这些人的作品因而也正对蔡廷的脾胃。其中之一就是约翰·冯·诺伊曼——他在1930年柯尼斯堡的一次会议上亲耳聆听了哥德尔首次公开提出不完全性定理，后来又在美国为计算和计算理论的发展作出了重要贡献。对冯·诺伊曼而言，在哥德尔的证明之后，数学已经没有回头路：

这是一次非常严重的概念危机，牵扯到为了进行正确的数学证明所必需的严谨、适当的论证方式。在过去认为数学是绝对严谨的观点看来，这种事情的发生是完全出乎意料的。而且它发生在当今这个没有奇迹容身之地的时代，就更出乎意料了。但是它确实发生了。

为什么会这样？蔡廷不免感到疑惑。他猜测，哥德尔的不完全性定理会不会与量子力学里似乎有点相似的不确定性原理存在某种关联呢。 后来，长大后的蔡廷借机就这个问题请教过约翰·阿奇博尔德·惠勒：哥德尔的不完全性与海森堡的不确定性是否有关联？惠勒则回答，他也曾拿着一模一样的问题问过哥德尔本人（就在普林斯顿高等研究院哥德尔的办公室，当时哥德尔双腿裹着毯子，正借着电热器的热量抵抗着室内的寒气），不过哥德尔拒绝回答。因此，惠勒也以同样的方式拒绝回答蔡廷的问题。

而当蔡廷读到图灵的不可计算性证明时，他认为这肯定是关键所在。他还读到了香农和韦弗合著的《通信的数学理论》，并惊喜于其中对熵的重新表述：基于比特的熵，一方面度量信息量，另一方面则度量无序程度。蔡廷突然意识到，这当中一个共同的元素是随机性。

香农打破常规，将随机性与信息联系了起来。而物理学家则在原子内部发现了随机性，虽然爱因斯坦对这种随机性表示强烈不满（“上帝不掷骰子”）。所有这些科学界的英雄人物都在谈论随机性，或与之相关的话题。

随机，这是个很简单的词，似乎所有人都知道它是什么意思。

但“所有人”都知道，换句话说，就是“没有人”知道。长久以来，哲学家和数学家都对其进行了深入的思考。对此，惠勒至少还有所表述：“概率，正如时间一样，都是人类创造的概念，所以人类也必须对与之相关的晦涩之处负责。” 拋掷一枚均匀硬币的结果是随机的，尽管硬币轨迹的所有细节都能根据牛顿运动定律计算出来。任意给定时刻的法国人口数的奇偶性也是随机的，但法国人口数本身显然并非随机的：这是个确定的事实，虽然具体无从得知。 经济学家约翰·梅纳德·凯恩斯则用其对立面来定义随机性，并从中选取了三种：知识、因果和设计。 任何事先知道的、由某种特定原因决定的或根据某种计划实施的，都不是随机的。

“或然性不过是我们的无知的一种量度。”这是亨利·庞加莱的名言。 “因此，或然现象，顾名思义，就是我们尚未掌握其规律的现象。”但他随即话锋一转，“但这个定义令人满意吗？当第一批迦勒底牧羊人仰望星空时，他们对天文学规律还一无所知，但他们会想到说，星辰的运动是受或然性支配的吗？”在庞加莱看来（他早在混沌成为一门科学之前就已对此有所领悟），随机性的例子还包括像雨滴坠落这样的现象——其影响因素虽然已经得到确认，但由于影响因素的数量太多、关系太复杂，所以其结果无法预测。在物理学或其他任何看似无法预测的自然现象当中，其表面上的随机性可能只是噪声，或可能源自更深层的复杂动力学因素。

无知是主观的，它是观察者的一种属性。而随机性，如果它真实存在的话，应当是事物本身的性质。这样的话，排除掉人为因素，我们就可以说，一个事件、一次选择、一个分布、一次博弈，或者最简单的，一个数是随机的。

但随机数的概念并没有看上去那么简单。比如，存在一个特定的随机数这样的东西吗？下面这个数有理由认为是随机的：

10097325337652013586346735487680959091173929274945…但同样，这个数是特殊的。它来自1955年的一本书，书名就叫《一百万个随机数字》。兰德公司